Джордан Элленберг

Логика формирует узкий канал, по которому протекает многократно усиленная интуиция.

Гениален не человек, гениально то, что он делает.

Нет, не критик, который все заранее рассчитывает; не человек, указывающий, где сильный споткнулся или где тот, кто делает дело, мог бы справиться с ним лучше, – уважения достоин тот, кто на самом деле находится на арене, у кого лицо покрыто потом, кровью и грязью; кто отважно борется; кто допускает ошибки, кто снова и снова терпит лишения, ибо не может быть попыток без ошибок и неудач, но кто действительно стремится что-то делать; кто проявляет великий энтузиазм, великую преданность; кто посвящает себя достойному делу; кто в лучшем случае познает триумф высоких достижений, а в худшем случае проиграет, но после великих дерзаний, а потому его место никогда не будет рядом с холодными и робкими душами, не знающими ни побед, ни поражений.

Математики любят обозначать специальными терминами те явления, которые описывает наш здравый смысл. Вместо фразы: «Прибавление этого объекта к тому объекту – это то же самое, что прибавление того объекта к этому» – мы говорим: «Сложение коммутативно». А поскольку мы любим использовать символы, то записываем сказанное в таком виде:

при любых значениях a и b

a + b = b + a.

Несмотря на официальный вид этой формулы, мы говорим здесь о факте, который инстинктивно понимает каждый ребенок.

возможно и то и другое в зависимости от того, сколько брони на самолетах уже установлено. Если и существует оптимальное решение проблемы, то оно находится где-то посередине, а что действительно плохо, так это отклонение от оптимума в любую сторону.

Нелинейное мышление означает следующее: какой путь выбрать, зависит от того, где вы находитесь.

с квадратом все просто и ясно. Если у вас есть квадрат, длина стороны которого равна Х, его площадь равна Х умножить на Х – именно поэтому мы и называем умножение числа на самого себя возведением в квадрат! Основное правило математической жизни гласит: если мироздание ставит перед вами сложную задачу, попытайтесь решить вместо нее более простую – с расчетом на то, что упрощенный вариант окажется настолько близким к первоначальной версии, что мироздание не станет возражать против такого решения.

Теперь я хочу объяснить вам суть математического анализа. Готовы? Вот идея, за которую мы должны благодарить Исаака Ньютона: в идеальном круге нет ничего особенного. Каждая гладкая кривая при достаточном увеличении масштаба напоминает прямую линию[40]. Не имеет значения, насколько изогнута или закручена эта кривая, – главное, что у нее нет острых углов.

Чем больше приближение, тем ровнее участок кривой.

Компьютерная программа имеет много общего с геометрическим доказательством: и то и другое требует, чтобы студент собрал один за другим воедино ряд простых элементов, выбранных из небольшой совокупности вариантов, так, чтобы в целом сформированная последовательность выполняла ту или иную значимую задачу.

населению штатов меньшего размера по существу свойственна более высокая вариабельность.